Question

15．设p：函数f（x）=x²-2ax-1在区间（-∞，2]上单调递减，q：函数g（x）=lg（x²+ax+4）的定义域是R，如果命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出关于p，q成立的a的范围，根据p，q一真一假，通过讨论得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：关于p：函数f（x）=x²-2ax-1在区间（-∞，2]上单调递减，
∴对称轴x=a≥2；
关于q：函数g（x）=lg（x²+ax+4）的定义域是R，
∴x²+ax+4＞0恒成立，
∴△=a²-16＜0，解得：-4＜a＜4，
如果命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
则p，q一真一假，
p真q假时：$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a≥4或a≤-4}\end{array}\right.$，解得：a≥4，
p假q真时：$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{-4＜a＜4}\end{array}\right.$，解得：-4＜a＜2，
综上a的范围是：（-4，2）∪[4，+∞）．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数、对数函数的性质，是一道中档题．