Question

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（Ⅰ）求曲线C的方程
（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有

FA

•

FB

＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可．
（Ⅱ）首先由于过点M（m，0）的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为x=ty+m（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现

FA

•

FB

＜0的等价转化；最后通过m、t的不等式求出m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：

(x-1)2+y2

-x=1(x＞0)
化简得y²=4x（x＞0）．
（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设l的方程为x=ty+m，由

x=ty+m y2=4x

得y²-4ty-4m=0，△=16（t²+m）＞0，
于是

y1+y2=4t y1y2=-4m

①
又

FA

=(x1-1，y1)，

FB

=(x2-1，y2)．

FA

•

FB

＜0?（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂＜0②
又x=

y2

4

，于是不等式②等价于

y12

4

•

y22

4

+y1y2-(

y12

4

+

y22

4

)+1＜0?

(y1y2)2

16

+y1y2-

1

4

[(y1+y2)2-2y1y2]+1＜0③
由①式，不等式③等价于m²-6m+1＜4t²④
对任意实数t，4t²的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m²-6m+1＜0，解得3-2

2

＜m＜3+2

2

．
由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有

FA

•

FB

＜0，且m的取值范围(3-2

2

，3+2

2

)．

点评：本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力．