Question

13．某地要建造一个水库，设计中，水库的最大容水量为12800立方米，山洪暴发时，预测注入水库的水量S_n（立方米）与天数n（n∈N₊，n≤10）的关系是S_n=5000$\sqrt{n（n+24）}$，此水库原有水量为80000立方米，泄水闸每天的泄水量为4000立方米，若山洪暴发的第一天就打开泄水闸．
（1）写出第n天水库的水量f（n）与天数n之间的函数关系式；
（2）在这10天中，堤坝会发生危险吗？（水库的水量不小于它的最大容水量，堤坝就会发生危险）

Answer 1

分析 （1）根据条件求出注水量和泄水量，即可得到结论．
（2）根据堤坝会发生危险的条件，解不等式即可．

解答 解：（1）设第n天注入水库的水量为5000$\sqrt{n（n+24）}$立方米，泄水为4000n立方米，
则第n天水库的容水量为f（n）=8000+5000$\sqrt{n（n+24）}$-4000n，（n∈N₊，n≤10）．
（2）设第n天会发生危险，则
5000$\sqrt{n（n+24）}$-4000n≥128000-80000，
即5$\sqrt{n（n+24）}$≥4n+48，
也即n²+24n-256≥0，
解得n≤-32或n≥8，
由于n∈N，所以取n≥8，即第8天时，总水量就超过水库的最大容量，也即该水库堤坝在第8天会发生危险．

点评 本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系是解决本题的关键．