Question

（2013•婺城区模拟）己知函数f(x)=

3

sinxcosx+co

s

2

x-

1

2

，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1．
（I）求角B的大小；
（II）若a=

3

，b=1，求c的值．

Answer 1

分析：（I）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（2x+

π

6

），因此f（B）=sin（2B+

π

6

）=1，可得2B+

π

6

=

π

2

+2kπ（k∈Z），结合B为三角形的内角即可求出角B的大小；
（II）根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，结合题中的数据建立关于边c的方程，解之即可得到边c的值．

解答：解：（I）∵sinxcosx=

1

2

sin2x，cos²x=

1

2

（1+cos2x）
∴f(x)=

3

sinxcosx+co

s

2

x-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

）
∵f（B）=1，即sin（2B+

π

6

）=1
∴2B+

π

6

=

π

2

+2kπ（k∈Z），可得B=

π

6

+kπ（k∈Z）
∵B∈（0，π），∴取k=0，得B=

π

6

；
（II）根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得
1²=（

3

）²+c²-2

3

ccos

π

6

，
化简整理得c²-3c+2=0，解之得c=1或2．
即当a=

3

，b=1时，边c的值等于c=1或2．

点评：本题给出三角函数式，在已知f（B）=1的情况下求三角形的角B大小并依此解△ABC，着重考查了三角恒等变换、三角函数的性质和利用正余弦定理解三角形等知识，属于基础题．