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已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点均可导的函数,若xf/(x)>f(x)在x>0时恒成立.
(1)求证:函数g(x)=
f(x)x
在(0,+∞)上是增函数;
(2)求证:当x1>0,x2>0时,有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2);
(3)请将(2)问推广到一般情况,并证明你的结论.
分析:①利用商的导数法则求g(x)=
f(x)
x
的导数,由已知知其大于0,所以单增.
②利用①的结论及x1+x2>x2,和x1+x2>x1,证出不等式
③与正整数有关的命题用数学归纳法证
解答:解:(1)由g(x)=
f(x)
x
g/(x)=
xf/(x)-f(x)
x2
,因为xf/(x)>f(x),
所以g/(x)>0在x>0时恒成立,所以函数g(x)=
f(x)
x
在(0,+∞)上是增函数.
(2)由(1)知函数g(x)=
f(x)
x
在(0,+∞)上是增函数,所以当x1>0,x2>0时,
f(x1+x2)
x1+x2
f(x1)
x1
f(x1+x2)
x1+x2
f(x2)
x2
成立,(5分)
从而f(x1)<
x1
x1+x2
f(x1+x2),f(x2)<
x2
x1+x2
f(x1+x2)

两式相加得f(x1+x2)>f(x1)+f(x2).
(3)推广到一般情况为:
若xi>0(i=1,2,3n),则f(x1+x2+…+xn)>f(x1)+f(x2)+…+f(xn),n∈N,n≥2.
以下用数学归纳法证明
(1)当n=2时,有(2)已证成立,
(2)假设当n=k(k≥2)时成立,即f(x1+x2+…+xk)>f(x1)+f(x2)+…+f(xk
那么当n=k+1时,f(x1+x2+…+xk+xk+1)>f(x1+x2+…+xk)+f(xk+1)>f(x1)+f(x2)+…+f(xk)+f(xk+1
成立,即当n=k+1时也成立.
有(1)(2)可知不等式对一切n∈N,n≥2时都成立.(12分)
点评:本题考查导数与单调性;利用当调性及数学归纳法证不等式
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点处可导的函数,若xf′(x)>f(x)在(0,+∞)上恒成立.
(Ⅰ)求证:函数g(x)=
f(x)
x
在(0,+∞)上单调递增;
(Ⅱ)当x1>0,x2>0时,证明:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2);
(Ⅲ)已知不等式ln(1+x)<x在x>-1且x≠0时恒成立,证明:
1
22
ln22+
1
32
ln32+
1
42
ln42+…+
1
(n+1)2
ln(n+1)2
n
2(n+1)(n+2)
(n∈N+).

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点处均可导的函数,若xf′(x)>f(x)在(0,+∞)上恒成立.
(Ⅰ)①求证:函数g(x)=
f(x)
x
在(0,+∞)上是增函数;
②当x1>0,x2>0时,证明:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2);
(Ⅱ)已知不等式ln(x+1)<x在x>-1且x≠0时恒成立,求证:
1
22
ln22+
1
32
ln32+
1
42
ln42+
+
1
(n+1)2
ln(n+1)2
n
2(n+1)(n+2)
,(n∈N*)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点处可导的函数,若xf′(x)-f(x)>0在x>0上恒成立,且f(x)=xax(a>0,a≠1,x>0),
7f(1)
3
-
f(2)
2
=
2
3
,若数列{
n
f(n)
}(n∈N)的前n项和为Sn,则
lim
n→∞
Sn=(  )
A、
1
2
B、1
C、-2
D、-
3
2

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科目:高中数学 来源:2011年辽宁省名校高三数学单元测试:算法、复数、推理与证明(解析版) 题型:解答题

已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点均可导的函数,若xf/(x)>f(x)在x>0时恒成立.
(1)求证:函数在(0,+∞)上是增函数;
(2)求证:当x1>0,x2>0时,有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2);
(3)请将(2)问推广到一般情况,并证明你的结论.

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