Question

如图所示，A，B，C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若

OC

=x

OA

+y

OB

，则（　　）

A．0＜x+y＜1

B．x+y＞1

C．x+y＜-1

D．-1＜x+y＜0

Answer 1

分析：如图所示由

OC

=

OE

+

OF

=x

OA

+y

OB

，可得 x＜0 y＜0，故 x+y＜0，故排除A、B．再由

OC

2=
x²

OA

2+y²

OB

2+2xy•

OA

•

OB

，得1=x²+y²+2xy•cos∠AOB． 当∠AOB=120°时，由（x+y）²=1+3xy＞1，
可得x+y＜-1，从而得出结论．

解答：解：如图所示：∵

OC

=

OE

+

OF

=x

OA

+y

OB

，∴x＜0，y＜0，
故 x+y＜0，故排除A、B．
∵|OC|=|OB|=|OA|，∴

OC

2=x² 

OA

2+y²

OB

2+2xy•

OA

•

OB

，
∴1=x²+y²+2xy•cos∠AOB．                              
当∠AOB=120°时，x²+y²-xy=1，即（x+y）²-3xy=1，
即（x+y）²=1+3xy＞1，
故 x+y＜-1，
故选C．

点评：本题主要考查了平面向量的几何意义，平面向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，平面向量
数量积运算的综合运用，排除法解选择题，属于中档题．