Question

18．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），点A在双曲线C上，且点A与点B关于原点对称，点P是双曲线C上异于A的一点，若PA，PB的连线的斜率分别为k₁，k₂（均不为0），若$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则双曲线C的离心率为$\sqrt{1+2\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由题意，可设点M（p，q），N（-p，-q），P（s，t）．
∴$\frac{{p}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{q}^{2}}{{b}^{2}}$=1，且$\frac{{s}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{t}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
两式相减由斜率公式得：k₁k₂=$\frac{{t}^{2}-{q}^{2}}{{s}^{2}-{p}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．
∵$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$≥$\frac{2}{{k}_{1}{k}_{2}}$，$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{k}_{2}}^{2}}$的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{2}{{k}_{1}{k}_{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴k₁k₂=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴e²=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+2$\sqrt{2}$，
∴e=$\sqrt{1+2\sqrt{2}}$．
故答案为：$\sqrt{1+2\sqrt{2}}$．

点评 本题以双曲线为载体，考查双曲线的性质，关键是利用点差法，求得斜率之积为定值．