Question

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束.假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立.已知前2局中，甲、乙各胜1局.

（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（2）求经过5局比赛，比赛结束的概率

Answer 1

（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利.
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而
B＝A₃·A₄＋B₃·A₄·A₅＋A₃·B₄·A₅，
由于各局比赛结果相互独立，故
P(B)＝P(A₃·A₄)＋P(B₃·A₄·A₅)＋P(A₃·B₄·A₅)
＝P(A₃)P(A₄)＋P(B₃)P(A₄)P(A₅)＋P(A₃)P(B₄)P(A₅)
＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648

（2）经过5局比赛，甲获胜的概率为
P(B₃·A₄·A₅)＋P(A₃·B₄·A₅)＝0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.288；
经过5局比赛，乙获胜的概率为
P(A₃·B₄·B₅)＋P(B₃·A₄·B₅)＝0.6×0.4×0.4＋0.4×0.6×0.4＝0.192.
所以经过5局比赛，比赛结束的概率为0.288＋0.192＝0.48