Question

设集合A={x|x²-2ax+a=0，x∈R}，B={x|x²-4x+a+5=0，x∈R}，若A和B中有且仅有一个是∅，则实数a的取值范围是

（-1，0]∪[1，+∞）

．

Answer 1

分析：由题意可得，x²-2ax+a=0与x²-4x+a+5=0有且只有一个方程无解，故有 ①

△1 = 4a2 -4a＜0 △2= 16-4(a+5)≥0

，或 ②

△1 = 4a2 -4a≥0 △2= 16-4(a+5)＜0

．分别求得①和②的解集，再取并集，
即得所求．

解答：解：集合A={x|x²-2ax+a=0，x∈R}，B={x|x²-4x+a+5=0，x∈R}，A和B中有且仅有一个是∅，故x²-2ax+a=0与x²-4x+a+5=0有且只有一个方程无解，
∴①

△1 = 4a2 -4a＜0 △2= 16-4(a+5)≥0

，或 ②

△1 = 4a2 -4a≥0 △2= 16-4(a+5)＜0

．
解①可得 a∈∅，解②可得-1＜a≤0，或a≥1，故实数a的取值范围是（-1，0]∪[1，+∞），
故答案为 （-1，0]∪[1，+∞）．

点评：本题主要考查一元二次方程的解的个数的判断方法，元素与集合的关系，属于基础题．