Question

【题目】已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2， ）在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：△PF2Q的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆 + =1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2， ）在椭圆上，

∴由题意，得 ，

解得a=3，b=2

∴椭圆方程为

（2）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2）， （|x1|≤3）

∴|PF2|2=（x1﹣1）2+y12= （x1﹣9）2，

∴|PF2|=3﹣ x1，

连接OM，OP，由相切条件知：

|PM|2=|OP|2﹣|OM|2=x12+y12﹣8=vx12，

∴|PM|= x1，

∴|PF2|+|PM|=3

同理可求|QF2|+|QM|=3

∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=6为定值

【解析】（1）由椭圆 + =1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2， ）在椭圆上，建立方程组，可得a值，进而求出b值后，可得椭圆方程；（2）设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2﹣|OM|2求出|PQ|，可得结论．