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如果函数f(x)在区间D上是“凸函数”,则对于区间D内任意的x1,x2,…,xn,有≤f()成立.已知函数y=sinx在区间[0,π]上是“凸函数”,则在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】分析:利用“凸函数”的定义得到恒成立的不等式,利用三角形的内角和为π,求出函数的最大值.
解答:解:∵y=sinx在区间[0,π]上是“凸函数”,
==

∴sinA+sinB+sinC的最大值是
故选D
点评:本题考查理解题中的新定义、并利用新定义求最值、考查三角形的内角和为π.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•海珠区二模)已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2.
(Ⅰ)如果函数g(x)的单调递减区间为(-
13
,1)
,求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数y=g(x)的图象在点P(-1,1)处的切线方程;
(Ⅲ)若不等式2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•天河区三模)设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f'(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f'(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a).
(1)设函数f(x)=Inx+
b+2x+1
(x>1)
,其中b为实数.
(i)求证:函数f(x)具有性质P(b);
(ii)求函数f(x)的单调区间.
(2)已知函数g(x)具有性质P(2),给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,设m为实数,a=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,且a>1,β>1,若|g(a)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,求m取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•顺义区二模)对于定义域为A的函数f(x),如果任意的x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)是A上的严格增函数;函数f(k)是定义在N*上,函数值也在N*中的严格增函数,并且满足条件f(f(k))=3k.
(Ⅰ)判断函数f(3x)=2×3x(x∈N)是否是N上的严格增函数;
(Ⅱ)证明:f(3k)=3f(k);
(Ⅲ)是否存在正整数k,使得f(k)=2012,若存在求出k值;若不存在请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•顺义区一模)对于定义域为A的函数f(x),如果任意的x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)是A上的严格增函数;函数f(k)是定义在N*上,函数值也在N*中的严格增函数,并且满足条件f(f(k))=3k.
(Ⅰ)证明:f(3k)=3f(k);
(Ⅱ)求f(3k-1)(k∈N*)的值;
(Ⅲ)是否存在p个连续的自然数,使得它们的函数值依次也是连续的自然数;若存在,找出所有的p值,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•武进区模拟)函数f(x)=
1
2
ax2-bx-lnx
,a>0,f'(1)=0.
(1)①试用含有a的式子表示b;②求f(x)的单调区间;
(2)对于函数图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果在函数图象上存在点P(x0,y0)(其中x0在x1与x2之间),使得点P处的切线l∥AB,则称AB存在“伴随切线”,当x0=
x1+x2
2
时,又称AB存在“中值伴随切线”.试问:在函数f(x)的图象上是否存在两点A、B,使得AB存在“中值伴随切线”?若存在,求出A、B的坐标;若不存在,说明理由.

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