Question

【题目】已知数列{an}满足 ，记数列{an}的前n项和为Sn ， cn=Sn﹣2n+2ln（n+1）
（1）令 ，证明：对任意正整数n，|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|
（2）证明数列{cn}是递减数列．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ ， ，

∴bn+1= = = =1+ =1+bn，

∴bn+1﹣bn=1，∴数列{bn}是等差数列，首项b1= =1，公差为1．

∴bn=1+（n﹣1）=n．

对任意正整数n，要证明|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|，只要证明：|sinnθ|≤n|sinθ|，（*）．

下面利用数学归纳法证明：

①当n=1时，（*）成立．

②假设n=k时，（*）成立，即|sinkθ|≤k|sinθ|，

则当n=k+1时，|sin（k+1）θ|=|sinkθcosθ+coskθsinθ|≤|sinkθ||cosθ|+|coskθ||sinθ|≤|sinkθ|+|sinθ|≤（k+1）|sinθ|，

即n=k+1时，（*）成立．

由①②可知：对任意正整数n，|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|

（2）证明：由（1）可得： ，解得an=2﹣ ．

cn=Sn﹣2n+2ln（n+1），当n≥2时，cn﹣1=Sn﹣1﹣2（n﹣1）+2lnn，

∴cn﹣cn﹣1=an﹣2+2ln =﹣ +2ln =2（ln ﹣ ）．（n≥2）．

令1+ =x， ．记f（x）=lnx﹣（x﹣1），

f′（x）= ﹣1= ＜0，∴f（x）在 上单调递减，

∴f（x）＜f（1）=0，∴ln ﹣ ＜0．

∴cn﹣cn﹣1＜0，即cn＜cn﹣1，

∴数列{cn}是递减数列．

【解析】（1）由于 ， ，可得bn+1= =1+bn ， 利用等差数列的通项公式可得bn=n．对任意正整数n，要证明|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|，只要证明：|sinnθ|≤n|sinθ|，利用数学归纳法证明即可．（2）由（1）可得： ，解得an=2﹣ ．cn=Sn﹣2n+2ln（n+1），当n≥2时，可得cn﹣cn﹣1=2（ln ﹣ ）．（n≥2）．令1+ =x， ．记f（x）=lnx﹣（x﹣1），利用导数研究其单调性即可得出．
【考点精析】利用数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．