分析:先根据约束条件画出可行域,利用向量的数量积将投影|
|•cos∠AOP转化成
,设z=2x+y,再利用z的几何意义求最值,只需求出直线z=2x+y过可行域内的点M时,从而得到|
|•cos∠AOP的最大值即可.
解答:
解:在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域(如图),
由于|
|•cos∠AOP=
=
,而
=(2,1),
=(x,y),
所以|
|•cos∠AOP=
,
令z=2x+y,则y=-2x+z,即z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距,
由图形可知,当直线经过可行域中的点M时,z取到最大值,
由
得M(5,2),这时z=12,
所以|
|•cos∠AOP=
=
,
故|
|•cos∠AOP的最大值等于
.
故答案为:
.
点评:本题主要考查了向量的数量积、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础,纵观目标函数包括线性的与非线性,非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸,使得规划问题得以深化.