Question

【题目】如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点．
（1）求证：BF∥平面ADP；
（2）求二面角B﹣DF﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取PD中点G，连结GF，AG，

∵AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中点，

∴FG AB，∴四边形ABFG是平行四边形，∴AG∥BF，

∵AG平面ADP，BF平面ADP，∴BF∥平面ADP

（2）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，

设PE=1，则B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），C（0，3，0），E（0，1，2），F（0，2，1），

=（2，2，0）， =（0，2，1）， =（0，0，2），

设平面BDF的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，﹣1，2），

设平面PDF的法向量 =（a，b，c），

则 ，取a=1，则 =（1，﹣1，0），

设二面角B﹣DF﹣P的平面角为θ，

则cosθ= = = ．

∴二面角B﹣DF﹣P的余弦值为 ．

【解析】（1）取PD中点G，连结GF，AG，推导出四边形ABFG是平行四边形，从而AG∥BF，进而能证明BF∥平面ADP．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣DF﹣P的余弦值．
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．