Question

已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_n=4（n∈N*）且a₁=9，其前n项和为S_n，则满足不等式|S_n-n-6|＜

1

125

的最小整数n是（　　）

• A、5
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

分析：首先分析题目已知3a_n+1+a_n=4（n∈N*）且a₁=9，其前n项和为S_n，求满足不等式|S_n-n-6|＜

1

125

的最小整数n．故可以考虑把等式3a_n+1+a_n=4变形得到

an+1-1

an-1

=-

1

3

，然后根据数列b_n=a_n-1为等比数列，求出S_n代入绝对值不等式求解即可得到答案．

解答：解：对3a_n+1+a_n=4 变形得：3（a_n+1-1）=-（a_n-1）
即：

an+1-1

an-1

=-

1

3

故可以分析得到数列b_n=a_n-1为首项为8公比为-

1

3

的等比数列．
所以b_n=a_n-1=8×(-

1

3

)n-1
a_n=8×(-

1

3

)n-1+1=b_n+1
所以Sn=Sbn+n=

8[1-(- 1 3 )n]

1-(- 1 3 )

+n=6-6×(-

1

3

)n+n
|S_n-n-6|=|-6×(-

1

3

)n|＜

1

125

解得最小的正整数n=7
故答案为C．

点评：此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a_n-1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．