Question

设函数f（x）=

1

x+2

，a，b∈（0，+∞），
（Ⅰ）用分析法证明：f（

a

b

）+f（

b

a

）≤

2

3

；
（Ⅱ）设a+b＞4，求证：af（b），bf（a）中至少有一个大于

1

2

．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,反证法

分析：（Ⅰ）分析法是从求证的不等式出发，找到使不等式成立的充分条件，把证明不等式的问题转化为判定这些充分条件是否具有的问题；
（Ⅱ）反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．

解答： 证明：（Ⅰ）要证明f（

a

b

）+f（

b

a

）≤

2

3

，
只需证明

1

a b +2

+

1

b a +2

≤

2

3

，
只需证明：

b

a+2b

+

a

b+2a

≤

2

3

，
只需证明：

b2+4ab+a2

2a2+5ab+2b2

≤

2

3

，
只需证明：（a-b）²≥0，
显然成立，
∴f（

a

b

）+f（

b

a

）≤

2

3

；
（Ⅱ）假设af（b），bf（a）中都小于等于

1

2

，则

a

b+2

≤

1

2

，

b

a+2

≤

1

2

，
∴2a≤b+2，2b≤a+2，
两式相加可得a+b≤4，
这与a+b＞4，矛盾，
∴af（b），bf（a）中至少有一个大于

1

2

．

点评：本题主要考查用分析法证明不等式，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止．