Question

17.已知｛a_n｝是等比数列，a₁=2，a₃=18；｛b_n｝是等差数列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃>20.

 

（Ⅰ）求数列｛b_n｝的通项公式；

（Ⅱ）求数列｛b_n｝的前n项和S_n的公式；

（Ⅲ）设

　　　P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n－2，

　　　Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，

　　　其中n＝1，2，…，试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论.

Answer 1

17.本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力.

解：（Ⅰ）设｛a_n｝的公比为q，由a₃＝a₁q²得

q²＝＝9，q=±3.

当q＝－3时，a₁+a₂+a₃=2－6+18=14<20，这与a₁+a₂+a₃>20矛盾，故舍去；

当q＝3时，a₁＋a₂+a₃=2+6+18=26>20，故符合题意.

设数列｛b_n｝的公差为d，由b₁+b₂+b₃+b₄=26得

4b₁＋＝26，

又b₁=2，解得d=3，

所以b_n=3n－1.

（Ⅱ）S_n=＝.

（Ⅲ）b₁，b₄，b₇，…，b_3n－2组成以3d为公差的等差数列，所以

P_n＝nb₁+·3d=；

b₁₀，b₁₂，b₁₄，…，b_2n+8组成以2d为公差的等差数列，b₁₀＝29，

所以Q_n=nb₁₀+·2d=3n²+26n，

P_n－Q_n=（）－（3n²+26n）=n（n－19），

所以，对于正整数n，当n≥20时，P_n>Q_n；当n=19时，P_n＝Q_n；当n≤18时，P_n＜Q_n.