Question

在平面直角坐标系中，点A（4，-2）是直角△OAB的直角顶点，O是坐标原点，点B在x轴上．
（1）求直线AB的方程； 
（2）求△OAB的外接圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由点A和原点坐标，求出直线OA的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1求出直线AB的斜率，然后由求出的斜率与点A的坐标写出直线AB的方程即可；
（2）由B为直线AB与x轴的交点，故令第一问求出的直线AB的方程中的y等于0，求出x的值即为B的横坐标，确定出B的坐标，进而得到线段OB的中点坐标即为外接圆圆心坐标，线段OB的一半即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程，化为圆的一般式方程即可．

解答：解：（1）由△OAB为直角三角形，
得到OA⊥AB，又kOA=

-2-0

4-0

=-

1

2

，
∴k_AB=2，
∴直线AB的方程为y+2=2（x-4），即2x-y-10=0；
（2）由（1）可知：B（5，0）
∴直角△OAB的外接圆的圆心为线段OB的中点（

5

2

，0），r=

5

2

，
∴△OAB的外接圆的方程为(x-

5

2

)2+y2=

25

4

，即x²+y²-5x=0．

点评：此题考查了圆的一般方程，以及直线的一般式方程，要求学生掌握两直线垂直斜率满足的关系，会根据一点和斜率写出直线的方程，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，同时要求学生掌握直角三角形外接圆的圆心即为斜边的中点，半径为斜边长的一半，掌握此知识是解答第二小题的关键．