Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为：，动点在椭圆上，为原点，线段的中点为.

（1）以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点的轨迹的极坐标方程；

（2）设直线的参数方程为（为参数），与点的轨迹交于、两点，求弦长.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)先由相关点法求出点的轨迹方程，再由极坐标与直角坐标转化的公式，即可得出结果；

(2)将直线的参数方程代入点的普通轨迹方程，得到关于的一元二次方程，由韦达定理和即可求出弦长.

（1）设点的坐标为，为线段的中点，

点的坐标为．

由点在椭圆上得，

化简得点的轨迹的直角坐标方程为①

将，，代入①得，

化简可得点的轨迹的极坐标方程为．

（2）（法一）把直线参数方程 (为参数)代入①得，

化简得：

设、两点对应的参数分别为，，由直线参数方程的几何意义得

弦长．

（法二）由直线参数方程 (为参数)知，直线过极点，倾斜角为，

直线的极坐标方程为．

由解得：和

弦长．

（法三）由直线参数方程 (为参数)知，

直线的普通方程为，

联立解得和

弦长．