Question

已知f(x)=

ax2+2

b-3x

是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f(2)=-

5

3

．
（1）求a，b的值；
（2）请用函数单调性的定义说明：f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（-x）=-f（x）可求b，f(2)=-

5

3

，可求a；
（2）利用函数单调性的定义任取1＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），判断符号；
（3）利用函数单调性与奇偶性即可求得f（x）的值域．

解答：解：（1）由f（-x）=-f（x）得：b=0，由f(2)=-

5

3

得a=2…..（4分）
（2）f(x)=-

2

3

(x+

1

x

)在（1，+∞）上为减函数．
证明：任取1＜x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=-

2

3

(x1-x2)(1-

1

x1x2

)＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上为减函数…（8分）
（3）同理，f（x）在（0，1）递增∴x＞0时，f(x)≤f(1)=-

4

3

，
又f（x）为奇函数，∴x＜0时f(x)≥

4

3

，
综上所述，f（x）的值域为(-∞，-

4

3

]∪[

4

3

，+∞)…（11分）

点评：本题考查函数奇偶性与单调性，重点考查学生理解函数奇偶性单调性及灵活应用之求值域，解决的方法是特值法与函数单调性的定义法，属于中档题．