Question

12．若函数f（x）=cos$\frac{x+2φ}{3}$（φ∈[-π，0]）是奇函数，则下列说法错误的是（　　）

• A． f（-1-6π）+f（1+12π）=0
• B． 函数f（x）的一个单调递减区间为[$\frac{17π}{2}$，10π]
• C． 函数f（x）的一个对称中心为（3π，0）
• D． 函数g（x）=f（6x）-$\frac{1}{2}$在[0，9]上有4个零点

Answer 1

分析 先化简函数，再分别判断4个选项，即可得出结论．

解答 解：由题意，f（0）=cos$\frac{2φ}{3}$=0（φ∈[-π，0]），∴φ=-$\frac{3π}{4}$，
∴f（x）=sin$\frac{x}{3}$，
∴A．f（-1-6π）+f（1+12π）=sin（-$\frac{1}{3}$-2π）+sin（$\frac{1}{3}$+4π）=0，正确；
B，由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{x}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，可得-$\frac{3π}{2}$+6kπ≤x≤$\frac{3π}{2}$+6kπ，函数单调递减，k=2，$\frac{21π}{2}≤x≤\frac{27π}{2}$，故B正确；
C，x=3π，f（x）=0，正确；
D，g（x）=f（6x）-$\frac{1}{2}$=sin2x-$\frac{1}{2}$在[0，9]上有6个零点，不正确．
故选D．

点评 本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．