Question

12．解关于x的不等式ax²-2x-2-a＜0（a＞-1）．

Answer 1

分析 由-1＜a＜0，a=0，0＜a＜1，a≥1，进行分类讨论，由此利用分类讨论思想和一元二次方程的解法能求出原不等式的解集．

解答 解：（1）当a=0时，有-2x-2＜0，∴x＞-1．
（2）a＞0时，∵△=4-4a（-2-a）=4a²+8a+4=4（a+1）²＞0，
方程ax²-2x-2-a=0的两根为$\frac{2±2（a+1）}{2a}$，即x₁=-1，${x}_{2}=\frac{a+2}{a}$，
∴不等式的解集为{x|-1＜x＜$\frac{a+2}{2}$}．
（3）当-1＜a＜0时，△=4-4a（-2-a）=4a²+8a+4=4（a+1）²＞0，
不等式ax²-2x-2-a＜0的解集为{x|-1＜x＜$\frac{a+2}{2}$}．
综上，关于x的不等式ax²-2x-2-a＜0（a＞-1）的解集为：
当-1＜a＜0时，关于x的不等式ax²-2x-2-a＜0（a＞-1）的解集为：{x|-1＜x＜$\frac{a+2}{2}$}．
当a=0时，关于x的不等式ax²-2x-2-a＜0（a＞-1）的解集为：{x|x＞-1}；
当a＞0时，关于x的不等式ax²-2x-2-a＜0（a＞-1）的解集为：{x|-1＜x＜$\frac{a+2}{2}$}．

点评 本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．