Question

【题目】已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，csinC﹣asinA=（ c﹣b）sinB．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=1，求三角形ABC面积S的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）利用正弦定理化简csinC﹣asinA=（ c﹣b）sinB．
得：c2+b2﹣ bc=a2 ，
即c2+b2﹣a2= bc，
∴由余弦定理可得：cosA= = =
∵A为三角形内角，
∴A=30°．
（Ⅱ）由（1）可得c2+b2﹣1= bc，
∴2bc﹣1≤ bc，当且仅当b=c时取等号，
∴bc≤ =2+
∴S△ABC= bcsinA= bc≤
∴三角形ABC面积S的最大值
【解析】（1）利用正弦定理化简已知等式，再由余弦定理列出关系式，将得出的等式变形后代入求出cosA的值，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．（Ⅱ）由（Ⅰ）结合基本不等式可得bc≤2+ ，再根据面积公式即可求出答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:．