Question

1．已知∠A，∠B满足条件b-bcosA=a-acosB，若∠A，∠B是△ABC的内角且∠A的对边是a，∠B的对边是b，试确定△ABC的形状．

Answer 1

分析 由已知及弦定理解得$\frac{sinA}{sinB}=\frac{1-cosA}{1-cosB}$，平方得后整理可得cosA=cosB，从而∠A=∠B，是等腰三角形．

解答 解：由b-bcosA=a-acosB，可得：$\frac{a}{b}=\frac{1-cosA}{1-cosB}$，
根据正弦定理得：$\frac{sinA}{sinB}=\frac{1-cosA}{1-cosB}$，
平方得：$\frac{si{n}^{2}A}{si{n}^{2}B}=\frac{（1-cosA）^{2}}{（1-cosB）^{2}}$=$\frac{（1-cosA）（1+cosA）}{（1-cosB）（1+cosB）}$，
∴（1+cosB）（1-cosA）=（1+cosA）（1-cosB），即：1+cosB-cosA-cosAcosB=1+cosA-cosB-cosAcosB，
化简得：cosA=cosB，
∴∠A=∠B．
∴△ABC是等腰三角形．

点评 本题主要考查了正弦定理及同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．