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设A,B,C为△ABC的三个内角,其对边分别a,b,c.
m
=(sin
A
2
,-cos
A
2
),
n
=(sin
A
2
,cos
A
2
)
a=2
3
,且
m
n
=-
1
2

(1)求角A的大小;
(2)若△ABC的面积S=
3
,求b+c的值.
分析:(1)利用向量数量积的坐标表示可得,
m•
n
=sin2
A
2
-cos2
A
2
=-cosA=-
1
2
,结合A为三角形的内角求A.
(2)利用面积公式S=
1
2
bcsinA
,代入已知可求bc=4,利用余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.可求b+c.
解答:解:(Ⅰ)
m
n
=sin2
A
2
-cos2
A
2
=-(cos2
A
2
-sin2
A
2
)=-cosA=-
1
2

cosA=
1
2
.(4分)
∵A为三角形内角,
A=
π
3
.(6分)
(Ⅱ)S=
1
2
bcsinA=
1
2
bc•
3
2
=
3
,∴bc=4.(8分)
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA.
即12=b2+c2-bc.(10分)
∴12=(b+c)2-2bc-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-12.
∴(b+c)2=24.
b+c=2
6
.(13分)
点评:本题以向量的数量积的坐标表示为载体,主要考查了二倍角的余弦,余弦定理,三角形的面积公式的综合运用,解决此类问题,不但要熟练掌握基本公式,基本运算,还要具备综合运用知识的推理的能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=cos(2x+
π
6
)
+sin2x.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)设A,B,C为△ABC的三个内角,若AB=1,sinB=
1
3
f(
C
2
)=
3
2
,求AC的长.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=cos(2x-
π
3
-
1
2
cos2x+1

(1)求函数f(x)的最小正周期及最大值;
(2)设A,B,C为△ABC的三个内角,若AB=1,sinB=
1
3
f(
2C
3
)=
7
4
,且C为锐角,求AC的长.

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科目:高中数学 来源: 题型:

有下列几个命题:①若
a
b
-
c
都是非零向量,则“
a
b
=
a
c
”是“
a
⊥(
b
-
c
)
”的充要条件;②已知等腰△ABC的腰为底的2倍,则顶角A的正切值是
15
7
;③在平面直角坐标系xoy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为(0,-1);④设
a
b
c
为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足
a
b
不共线,
a
c
,|
a
|=|
c
|,则|
b
c
|的值一定等于以
a
b
为邻边的平行四边形的面积.其中正确命题的序号是
 
.(写出全部正确结论的序号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)如果a,b都是正数,且a≠b,求证a6+b6>a4b2+a2b4
(2)设a,b,c为△ABC的三条边,求证(a+b+c)2<4(ab+bc+ca)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•南京模拟)A.选修4-1几何证明选讲
如图,△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.
求证:ED2=EB•EC.
B.矩阵与变换
已知矩阵A=
2-1
-43
4-1
-31
,求满足AX=B的二阶矩阵X.
C.选修4-4 参数方程与极坐标
若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos(θ+
π
3
),它们相交于A,B两点,求线段AB的长.
D.选修4-5 不等式证明选讲设a,b,c为正实数,求证:a3+b3+c3+
1
abc
≥2
3

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