Question

在斜三棱柱中，平面平面ABC，，，.
（1）求证：；
（2）若，求三棱锥的体积.

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、线线平行、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用面面垂直的性质得BC⊥平面A₁ACC₁，则利用线面垂直的性质得A₁A⊥BC，由A₁B⊥C₁C，利用平行线A₁A∥C₁C，则A₁A⊥A₁B，利用线面垂直的判定得A₁A⊥平面A₁BC，则利用线面垂直的性质得A₁A⊥A₁C；第二问，由于为等腰三角形，平面. A₁ACC₁⊥平面ABC，所以中边AC上的高为斜三棱柱的高，而三棱锥与三棱锥的体积相等.
（1）因为平面A₁ACC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，所以BC⊥平面A₁ACC₁，
所以A₁A⊥BC．
因为A₁B⊥C₁C，A₁A∥C₁C，所以A₁A⊥A₁B，又BC∩A₁B＝B，
所以A₁A⊥平面A₁BC，又A₁CÌ平面A₁BC，所以A₁A⊥A₁C．  5分

（2）由已知及（1），△A₁AC是等腰直角三角形，AA₁＝A₁C＝2，AC＝．
因为平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
所以Rt△A₁AC斜边上的高等于斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，且等于． 7分
在Rt△ABC中，AC＝BC＝，S_△ABC＝AC·BC＝4，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V＝S_△ABC·＝．    10分
又三棱锥A₁-ABC与三棱锥C-A₁B₁C₁的体积相等，都等于V，
所以三棱锥B₁-A₁BC的体积V₁＝V－2×V＝．    12分