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(05年广东卷)(14分)

在平面直角坐标系中,抛物线上异于坐标原点的两不同动点A、B满足(如图4所示)

(Ⅰ)求得重心(即三角形三条中线的交点)

的轨迹方程;

(Ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出

最小值;若不存在,请说明理由.

解析: 解法一:

(Ⅰ)∵直线的斜率显然存在,∴设直线的方程为

,依题意得

   ,①

,②    ③

 ∵,∴,即 ,④

由③④得,,∴

∴设直线的方程为

∴①可化为    ,∴     ⑤,

的重心G为,则

    ⑥ ,      ⑦,

由⑥⑦得   ,即,这就是得重心的轨迹方程.

(Ⅱ)由弦长公式得

把②⑤代入上式,得  

设点到直线的距离为,则

∴ 当有最小值,

的面积存在最小值,最小值是 .

 

解法二:

(Ⅰ)∵  AO⊥BO, 直线的斜率显然存在,

   ∴设AO、BO的直线方程分别为

,依题意可得

   由得 ,由得 

的重心G为,则

     ① ,   ②,

由①②可得,,即为所求的轨迹方程.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,

             

当且仅当,即时,有最小值,

的面积存在最小值,最小值是 .

 

 

解法三:(I)设△AOB的重心为G(x , y) ,A(x1, y1),B(x2 , y2 ),则

          …(1)

不过∵OA⊥OB ,

,即,  …(2)

又点A,B在抛物线上,有

代入(2)化简得

∴所以重心为G的轨迹方程为

(II)

由(I)得

当且仅当时,等号成立,

 

所以△AOB的面积存在最小值,存在时求最小值1 .

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