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【题目】已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.

(1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数q的取值范围;

(2)是否存在常数t(t≥0),当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且区间D的长度为12-t(视区间[a,b]的长度为b-a).

【答案】(1);(2)

【解析】

(1)由二次函数的单调性易得 ,解关于的不等式组可得.
(2)分,最大值是最大值是三种情况进行讨论,对于每一种情况,由区间长度是求出12-t的值,验证范围后即可得到答案.

(1)∵函数f(x)=x2-16x+q+3的对称轴是x=8,∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数.

∵函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有∴-20≤q≤12.

(2)∵0≤t<10,f(x)在区间[0,8]上是减函数,在区间[8,10]上是增函数,且对称轴是x=8.

①当0≤t≤6时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小,

∴f(t)-f(8)=12-t,即t2-15t+52=0,

解得t=,∴t=

②当6<t≤8时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(8)最小,

∴f(10)-f(8)=12-t,解得t=8;

③当8<t<10时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小,

∴f(10)-f(t)=12-t,即t2-17t+72=0,解得t=8,9,

∴t=9.

综上可知,存在常数t=,8,9满足条件.

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