Question

20．已知圆$C：{x^2}+{y^2}+2\sqrt{2}x-10=0$，点$A（\sqrt{2}，0）$，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP相交于点Q．
（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）直线$y=kx+\sqrt{2}$与点Q的轨迹交于不同两点A和B，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1$（其中O为坐标原点），求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，结合已知可得点Q的轨迹是椭圆，并求出a，c的值，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得A，B的横坐标的和与积，再由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1$列式求得k值．

解答 解：（Ⅰ）由圆$C：{x^2}+{y^2}+2\sqrt{2}x-10=0$，得圆$C：{（x+\sqrt{2}）^2}+{y^2}={（2\sqrt{3}）^2}$，
由条件，|QC|+|QA|=|CP|＞|CA|，
故点Q的轨迹是椭圆，且$a=\sqrt{3}，c=\sqrt{2}，b=1$，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）将$y=kx+\sqrt{2}$代入$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，得$（1+3{k^2}）{x^2}+6\sqrt{2}kx+3=0$．
由直线与椭圆交于不同的两点，得$\left\{\begin{array}{l}1+3{k^2}≠0\\△={（6\sqrt{2}k）^2}-12（1+3{k^2}）=12（3{k^2}-1）＞0.\end{array}\right.$，即${k^2}＞\frac{1}{3}$．
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
则${x_A}+{x_B}=-\frac{{6\sqrt{2}k}}{{1+3{k^2}}}，{x_A}{x_B}=\frac{3}{{1+3{k^2}}}$．
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1$，得x_Ax_B+y_Ay_B=2．
而${x_A}{x_B}+{y_A}{y_B}={x_A}{x_B}+（k{x_A}+\sqrt{2}）（k{x_B}+\sqrt{2}）=（{k^2}+1）{x_A}{x_B}+\sqrt{2}k（{x_A}+{x_B}）+2$
=$（{k^2}+1）\frac{3}{{1+3{k^2}}}-\sqrt{2}k\frac{{6\sqrt{2}k}}{{1+3{k^2}}}+2=\frac{{5-3{k^2}}}{{3{k^2}+1}}$．
于是$\frac{{5-3{k^2}}}{{3{k^2}+1}}=1$．解得$k=±\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
故k的值为$±\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆的简单性质，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．