Question

设两个不共线的向量，的夹角为θ，且=3，．
（1）若θ=，求的值；
（2）若θ为定值，点M在直线OB上移动，的最小值为，求θ的值．

Answer 1

解：（1）=
=（6分）
（2）设，
则显然λ≠0

①当λ＞0时

=9+12cosθ•λ+4λ²（*）（8分）
要使得（*）有最小值，
其对称轴，
即cosθ＜0
故，
解得（10分）
又0°≤θ≤180°
∴θ=150°（12分）
②当λ＜0时

=9+12cosθ•λ+4λ²（#）
要使得（#）有最小值，
其对称轴，
即cosθ＞0
故，
解得
又0°≤θ≤180°
∴θ=30°（15分）
综上所述，θ=30°或150°（16分）．
分析：（1）根据两个不共线的向量，的夹角，及，，结合=-，我们代入直接求出；
（2）由点M在直线OB上，我们设，结合，分类讨论λ＞0（即同向）、λ＜0（即反向）即可求出对应λ的值．
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，向量的模及二次函数的最值问题，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．