Question

12．（1）求（1+2x）⁵的展开式中含x³项的系数；
（2）求（1+x）（1+$\frac{1}{x}$）⁵展开式中的常数项．

Answer 1

分析 （1）（1+2x）⁵的展开式中的通项公式：T_r+1=${∁}_{5}^{r}（2x）^{r}$=${2}^{r}{∁}_{5}^{r}$x^r，令r=3，即可得出．
（2）展开（1+$\frac{1}{x}$）⁵=1+${∁}_{5}^{1}$$•\frac{1}{x}$+${∁}_{5}^{2}（\frac{1}{x}）^{2}$+${∁}_{5}^{3}$$（\frac{1}{x}）^{3}$+${∁}_{5}^{4}$$（\frac{1}{x}）^{4}$$+{∁}_{5}^{5}$$（\frac{1}{x}）^{5}$．进而得出常数项．

解答 解：（1）（1+2x）⁵的展开式中的通项公式：T_r+1=${∁}_{5}^{r}（2x）^{r}$=${2}^{r}{∁}_{5}^{r}$x^r，令r=3，则含x³项的系数是${2}^{3}•{∁}_{5}^{3}$=80．
（2）∵（1+$\frac{1}{x}$）⁵=1+${∁}_{5}^{1}$$•\frac{1}{x}$+${∁}_{5}^{2}（\frac{1}{x}）^{2}$+${∁}_{5}^{3}$$（\frac{1}{x}）^{3}$+${∁}_{5}^{4}$$（\frac{1}{x}）^{4}$$+{∁}_{5}^{5}$$（\frac{1}{x}）^{5}$．
∴（1+x）（1+$\frac{1}{x}$）⁵展开式中的常数项=1×1+1×${∁}_{5}^{1}$=6．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．