Question

【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn ， 且2Sn=（an﹣1）（an+2），
（1）求数列{an}的通项公式
（2）设数列{ }的前n项和为Tn ， 试比较Tn与 的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，2a1=2S1=（a1﹣1）（a1+2），

∵a1＞0，∴a1=2．

n=2时，2S2=（a2﹣1）（a2+2）=2（2+a2），

解得a2=3．

当n≥2时，2an=2（Sn﹣Sn﹣1）=an2﹣an﹣12+an﹣an﹣1，

∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，

∵an+an﹣1＞0，∴an﹣an﹣1=1，

∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，

∴an=n+1；

（2）解：∵ = = ﹣ ，

∴Tn= ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ﹣2，

Tn﹣ = ﹣2﹣

= ，

当n＜17且n为正整数时，

＜0，∴Tn＜ ；

当n=17时，

=0，∴Tn= ；

当n＞17且n为正整数时，

＞0，∴Tn＞ ．

【解析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1 ， 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ． 可得an=n+1；（2）求得 = = ﹣ ，运用裂项相消求和可得Tn ， 再由作差法，讨论n的范围，即可得到大小关系．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．