Question

6．（1）已知$\overrightarrow{α}$=（sinα，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（cosα，1），且0≤α≤2π，若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求角α的值；
（2）已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$是同一平面内的二个向量，其中$\overrightarrow{a}$=（1，2），若|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，且$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ．

Answer 1

分析 （1）根据向量的平行的条件得到tanα=$\sqrt{3}$，即可求出角α的值，
（2）根据向量的数量积运算和模的运算，以及向量垂直的条件得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{5}{2}$，再根据向量的夹角公式计算即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{α}$=（sinα，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（cosα，1），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴sinα-$\sqrt{3}$cosα=0，
∴tanα=$\sqrt{3}$，
∵0≤α≤2π，
∴α=$\frac{π}{3}$，或α=$\frac{4π}{3}$，
（2）∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），则|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
∵$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
∴2|$\overrightarrow{a}$|²-2|$\overrightarrow{b}$|²+3（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）=0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-$\frac{5}{2}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-\frac{5}{2}}{\sqrt{5}•\frac{\sqrt{5}}{2}}$=-1，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ=180°．

点评 本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直平行条件的灵活运用，解题时要认真审题，仔细解答．