Question

已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（1）=0，且在（0，+∞）上是增函数．又函数
（1）证明：f（x）在（-∞，0）上也是增函数；
（2）若m≤0，分别求出函数g（θ）的最大值和最小值；
（3）若记集合M={m|恒有g（θ）＜0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．

Answer 1

解析：（1）证明：任取x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0
且f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（-x₁）＞f（-x₂）．又f（x）为奇函数，
故f（x₂）-f（x₁）=-f（-x₂）+f（-x₁）＞0
即f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（-∞，0）上也是增函数．
（2）由g（θ）=sin²θ+mcosθ-2m=-cos²θ+mcosθ+1-2m，
令t=cosθ，则0≤t≤1，记y=g（θ）=-t²+mt+1-2m，由m≤0知，
函数y=-t²+mt+1-2m在t∈[0，1]上是减函数，
故t=0时，g（θ）有最大值1-2m；t=1时，g（θ）有最小值-m．
（3）由f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上是增函数，f（-1）=f（1）=0
∵f[g（θ）]＜0
∴g（θ）＜-1或0＜g（θ）＜1，又M={m|恒有g（θ）＜0}，
所以M∩N={m|恒有g（θ）＜-1}，
即-cos²θ+mcosθ+1-2m＜-1对恒成立．
∴（2-cosθ）m＞2-cos²θ，
∴=
∵，
∴cosθ-2∈[-2，-1]，2-cosθ∈[1，2]
∴≥2=2
∴
当时取得．
∴
∴，
故．
分析：（1）任取x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，利用单调增函数的定义和奇函数的定义，证明f（x₁）＜f（x₂），即可证明f（x）在（-∞，0）上也是增函数；
（2）先将函数g（θ）化为关于cosθ的二次函数，再利用换元法，令t=cosθ，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，最后利用配方法求最值即可；
（3）先将求两集合交集问题转化为一个恒成立问题，即M∩N={m|恒有g（θ）＜-1}，再利用参变分离法，转化为求函数的最大值问题，利用均值定理求其最值即可得m的范围
点评：本题综合考查了函数单调性的定义、函数奇偶性的定义及其二者的综合运用，换元法求三角函数的最值，配方法求二次函数的最值，以及不等式恒成立问题的解法，均值定理的应用，转化化归的思想方法