Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2，a_n，S_n成等差数列．
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_n+log₂$\frac{1}{a_n}$，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由2，a_n，S_n成等差数列．可得2a_n=S_n+2．利用递推关系可得：a_n=2a_n-1．即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=2ⁿ．可得b_n=a_n+log₂$\frac{1}{a_n}$=2ⁿ-n，再利用等比数列与等差数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵2，a_n，S_n成等差数列．∴2a_n=S_n+2．
n=1时，2a₁=a₁+2，解得a₁=2．
n≥2时，2a_n-1=S_n-1+2．
可得2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2，首项为2．
（2）解：由（1）可得：a_n=2ⁿ．
∴b_n=a_n+log₂$\frac{1}{a_n}$=2ⁿ-n，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=（2+2²+…+2ⁿ）-（1+2+…+n）
=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-$\frac{n（n+1）}{2}$
=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．