【题目】已知函数
(1)当时,求函数
在
处的切线方程;
(2)若函数在定义域上具有单调性,求实数
的取值范围;
(3)求证:
【答案】(1) (2)a≤2.(3)详见解析
【解析】试题分析:(1)由导数几何意义得切线斜率等于该点处导数值,再利用点斜式求切线方程,(2)先按单调递增与单调递减分类讨论,再将函数单调性转化为函数导数值恒非负或非正,利用变量分离转化为求对应函数最值,进而确定实数的取值范围;(3)利用导数证明数列求和不等式,一般方法为先构造目标函数(利用前面小题的结论),再代入数列,利用裂项相消法放缩求和,进而得证不等式.
试题解析:(1)当a=1时,f(x)=(x+1)lnx﹣x+2,(x>0),
f′(x)=lnx+,f′(1)=1,f(1)=1,
所以求在x=1处的切线方程为:y=x
(2)f′(x)=lnx++1﹣a,(x>0).
(i)函数f(x)在定义域上单调递减时,
即a≥lnx+时,令g(x)=lnx+
,
当x>ea时,g′(x)>0,不成立;
(ii)函数f(x)在定义域上单调递增时,a≤lnx+;
令g(x)=lnx+,
则g′(x)=,x>0;
则函数g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;
所以g(x)≥2,故a≤2.
(3)由(ii)得当a=2时f(x)在(1,+∞)上单调递增,
由f(x)>f(1),x>1得(x+1)lnx﹣2x+2>0,
即lnx>在(1,+∞)上总成立,
令x=得ln
>
,
化简得:ln(n+1)﹣lnn>,
所以ln2﹣ln1>,
ln3﹣ln2>,…,
ln(n+1)﹣lnn>,
累加得ln(n+1)﹣ln1>,
即命题得证.
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【题目】已知函数,现提供
的大致图象的8个选项:
(1)请你作出选择,你选的是( );
(2)对于函数图像的判断,往往只需了解函数的基本性质.为了验证你的选择的正确性,请你解决
下列问题:
①的定义域是___________________;
②就奇偶性而言, 是______________________ ;
③当时,
的符号为正还是负?并证明你的结论.
(解决了上述三个问题,你要调整你的选项,还来得及.)
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【题目】某单位实行休年假制度三年以来,50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示:
休假次数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
人数 | 5 | 10 | 20 | 15 |
根据表中信息解答以下问题:
(1)从该单位任选两名职工,求这两人休年假次数之和为4的概率;
(2)从该单位任选两名职工,用表示这两人休年假次数之差的绝对值,求随机变量
的分布列及数学期望
.
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【题目】已知点,椭圆
的离心率为
是椭圆的焦点,直线
的斜率为
为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线
与椭圆
相交于
两点,当
的面积最大时,求直线
的方程.
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【题目】某校为了纪念“中国红军长征90周年”,增强学生对“长征精神”的深刻理解,在全校组织了一次有关“长征”的知识竞赛,经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得20分,答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为
,
,
,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用
表示乙队的总得分.
(1)求的分布列和均值;
(2)求甲、乙两队总得分之和等于40分且甲队获胜的概率.
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【题目】设某物体一天中的温度是时间
的函数,已知
,其中温度的单位是
,时间的单位是小时,规定中午12:00相应的
,中午12:00以后相应的
取正数,中午12:00以前相应的
取负数(例如早上8:00相应的
,下午16:00相应的
),若测得该物体在中午12:00的温度为
,在下午13:00的温度为
,且已知该物体的温度在早上8:00与下午16:00有相同的变化率.
(1)求该物体的温度关于时间
的函数关系式;
(2)该物体在上午10:00至下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高?最高温度是多少?
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