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若函数处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点。

已知是实数,1和是函数的两个极值点.

(1)求的值;

(2)设函数的导函数,求的极值点;

(3)设,其中,求函数的零点个数.

 

【答案】

(1)。      (2)的极值点是-2    (3)当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点。

【考点】函数的概念和性质,导数的应用。

【解析】(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。

       (2)由(1)得,,求出,令,求解讨论即可。

       (3)比较复杂,先分讨论关于 的方程 根的情况;再考虑函数的零点

解:(1)由,得

                ∵1和是函数的两个极值点,

                ∴ ,解得

           (2)∵ 由(1)得, ,

                ∴,解得

                ∵当时,;当时,

                ∴的极值点。

                ∵当时,,∴ 不是的极值点。

                ∴的极值点是-2。

(3)令,则

 先讨论关于 的方程 根的情况:

时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2。

时,∵ ,

∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根。

由(1)知

① 当时, ,于是是单调增函数,从而

此时无实根。

② 当时.,于是是单调增函数。

又∵的图象不间断,

 在(1 , 2 )内有唯一实根。

同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根。

③ 当时,,于是是单调减两数。

又∵的图象不间断,

在(一1,1 )内有唯一实根。

因此,当时,有两个不同的根满足;当 时

有三个不同的根,满足

现考虑函数的零点:

( i )当时,有两个根,满足

有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点。

( 11 )当时,有三个不同的根,满足

有三个不同的根,故有9 个零点。

综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点

 

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