若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点。
已知是实数,1和是函数的两个极值点.
(1)求和的值;
(2)设函数的导函数,求的极值点;
(3)设,其中,求函数的零点个数.
(1)。 (2)的极值点是-2 (3)当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点。
【考点】函数的概念和性质,导数的应用。
【解析】(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。
(2)由(1)得,,求出,令,求解讨论即可。
(3)比较复杂,先分和讨论关于 的方程 根的情况;再考虑函数的零点
解:(1)由,得。
∵1和是函数的两个极值点,
∴ ,,解得。
(2)∵ 由(1)得, ,
∴,解得。
∵当时,;当时,,
∴是的极值点。
∵当或时,,∴ 不是的极值点。
∴的极值点是-2。
(3)令,则。
先讨论关于 的方程 根的情况:
当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2。
当时,∵, ,
∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根。
由(1)知。
① 当时, ,于是是单调增函数,从而。
此时在无实根。
② 当时.,于是是单调增函数。
又∵,,的图象不间断,
∴ 在(1 , 2 )内有唯一实根。
同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根。
③ 当时,,于是是单调减两数。
又∵, ,的图象不间断,
∴在(一1,1 )内有唯一实根。
因此,当时,有两个不同的根满足;当 时
有三个不同的根,满足。
现考虑函数的零点:
( i )当时,有两个根,满足。
而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点。
( 11 )当时,有三个不同的根,满足。
而有三个不同的根,故有9 个零点。
综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点
科目:高中数学 来源:2012届湖北省荆州中学高三第一次教学质量检测文科数学 题型:解答题
设关于的函数,其中为上的常数,若函数在处取得极大值
(1)求实数的值
(2)若函数的图像与直线有两个交点,求实数的取值范围
(3)设函数,若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2014届吉林省高二下学期期中考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数
(1)若函数在处取得极大值,求函数的单调区间
(2)若对任意实数,不等式恒成立,求的取值范围
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年江西南昌10所省高三第二次模拟冲刺理科数学试卷(二)(解析版) 题型:解答题
已知函数().
(1)若函数在处取得极大值,求的值;
(2)时,函数图象上的点都在所表示的区域内,求的取值范围;
(3)证明:,.
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科目:高中数学 来源:2011年山东省青岛市高考模拟练习题(一)数学(文) 题型:解答题
(本小题满分14分)
设关于的函数,其中为上的常数,若函数在处取得极大值.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)若函数的图象与直线有两个交点,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设函数,若对任意地,恒成立,求实数的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2013届辽宁省瓦房店市高二上学期期末考试文科数学 题型:解答题
设函数
(1)若函数在处取得极大值,求函数的单调递增区间;
(2)若对任意实数,,不等式恒成立,求的取值范围.
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