Question

10．将函数g（x）=sinx的图象纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），再将横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），最后把得到的函数图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位得到函数y=f（x）的图象．
（Ⅰ）写出函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）用五点法作出函数y=f（x）（$x∈[-\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}]$）的图象．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
（Ⅱ）根据x的范围求出这个角的范围，利用“五点法”作出f（x）的图象即可．

解答 解：（I）将函数g（x）=sinx的图象纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），可得函数y=2sinx的图象；
再将横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），可得函数y=2sin2x的图象；
再把所得图象上所有点向左平移$\frac{π}{8}$个单位，所得图象的解析式是y=2sin2（x+$\frac{π}{8}$）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），
可得函数y=f（x）的解析式为：$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）$．
（II）∵x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{7π}{8}$]，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[0，2π]，
列表如下：

x	-$\frac{π}{8}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$
2x+$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y=f（x）	0	1	0	-1	0

作出图象，如图所示：
．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查了五点法作正弦函数的图象，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．