Question

已知B是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0）上的一点，F是椭圆右焦点，且BF⊥x轴，B(1，

3

2

)．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设A₁和A₂是长轴的两个端点，直线l垂直于A₁A₂的延长线于点D，|OD|=4，P是l上异于点D的任意一点，直线A₁P交椭圆E于M（不同于A₁，A₂），设λ=

A2M

•

A2P

，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意，c=1，左焦点为F′（-1，0），求出|BF|，|BF′|，利用2a=|BF|+|BF′|，即可求得椭圆E的方程；
（II）确定M，P的坐标，求得

A1M

=(x0-2，y0)，

A2P

=(2，

6y0

x0+2

)，表示出λ=

A2M

•

A2P

，即可求得λ的取值范围．

解答：解：（I）由题意，c=1，左焦点为F′（-1，0），则2a=|BF|+|BF′|
∵B(1，

3

2

)，∴|BF|=

3

2

，|BF′|=

5

2

∴2a=4，∴a=2
∴b²=a²-c²=3
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）由（I）知A₁（-2，0），A₂（2，0），设M（x₀，y₀），则

x02

4

+

y02

3

=1
∵P，M，A₁三点共线，∴P(4，

6y0

x0+2

)
∴

A1M

=(x0-2，y0)，

A2P

=(2，

6y0

x0+2

)
∴λ=

A2M

•

A2P

=2（x₀+2）+

6y02

x0+2

=

5

2

（2-x₀）       
∵2＜x₀＜2，∴

5

2

（2-x₀）∈（0，10）
∴λ的取值范围为（0，10）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，正确表示向量的坐标，利用向量的数量积公式是关键．