Question

定义一个对应法则f：P（m，n）→p′（m，2|n|）．现有直角坐标平面内的点A（-2，6）与点B（6，-2），点M是线段AB上的动点，按定义的对应法则f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B时，点M的对应点M′经过的路线的长度为

8

5

．

Answer 1

分析：设线段AB交x轴于点C，可得C（4，0）．因此分M在线段AC上和在线段CB上两种情况加以讨论，分别得到点M'运动而成的路径，得到图中的折线A'CB'，再由对称的知识即可求出折线A'CB'的长度，从而得到M′经过的路线的长度．

解答：解：根据题意，线段AB的方程为y=4-x，交x轴于点C（4，0）
①当M（x，y）在线段AC上运动时纵坐标y为正数，可得2|y|=2y
因此，根据对应法则f将M的横坐标不变而纵坐标变成原来的2倍，得到点M'
所以点M'的运动路径是图中的A'C，其中A'（-2，12）
②当M（x，y）在线段CB上运动时纵坐标y为负数，可得2|y|=-2y
根据对应法则f，将M的横坐标不变而纵坐标变成原来的-2倍，得到点M'
所以点M'的运动路径是图中的CB'，其中B'（6，4）
设A₁是A'关于x轴的对称点，可得A₁（-2，-12），
∴|A'C|+|CB'|=|A₁C|+|CB'|=|A₁B'|=

(6+2)2+(4+12)2

=8

5

故答案为：8

5

点评：本题给出二元对应法则，求点M从A到B的过程中象点M'所经过的路线的长度，着重考查了两点的距离公式和函数对应法则的理解等知识，属于中档题．