Question

给出下列命题：①函数y=cos(

2

3

x+

π

2

)是奇函数；②存在实数α，使得sin α+cos α=

3

2

；③若α、β是第一象限角且α＜β，则tan α＜tan β；④x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5π

4

)的一条对称轴方程；⑤函数y=sin(

2

3

x+

π

2

)的图象关于点(

π

12

，0)成中心对称图形．其中正确的序号为（　　）

• A、①③
• B、②④
• C、①④
• D、④⑤

Answer 1

分析：①根据诱导公式化简，即可得到y=cos(

2

3

x+

π

2

)是奇函数，从而正确；
②求出sinα+cosα的最大值，发现最大值

2

＜

3

2

，从而可得到不存在实数α，使得sinα+cosα=

3

2

；
③找两个特殊角α、β，满足α＜β，比如45°＜30°+360°，但是tan45°＞tan（30°+360°）不满足要求，故不对；
④把x=

π

8

代入得到y=sin（2x+

5π

4

）=sin

3π

2

=-1，x=

π

8

是函数y=sin（2x+

5π

4

）的一条对称轴；
⑤把x=

π

12

代入得到y=sin(

2

3

x+

π

2

)=sin

π

2

=1，故点(

π

12

，0)不是函数y=sin(

2

3

x+

π

2

)的对称中心．

解答：解：①函数y=cos(

2

3

x+

π

2

)=-sin

2

3

x是奇函数；
②由sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）的最大值为

2

，
因为

2

＜

3

2

，所以不存在实数α，使得sinα+cosα=

3

2

；
③α，β是第一象限角且α＜β．例如：45°＜30°+360°，
但tan45°＞tan（30°+360°），即tanα＜tanβ不成立；
④把x=

π

8

代入y=sin（2x+

5π

4

）=sin

3π

2

=-1，
所以x=

π

8

是函数y=sin（2x+

5π

4

）的一条对称轴；
⑤把x=

π

12

代入函数y=sin(

2

3

x+

π

2

)=sin

π

2

=1，
所以点(

π

12

，0)不是函数y=sin(

2

3

x+

π

2

)的对称中心．
综上所述，只有①④正确．
故选C．

点评：本题主要考查诱导公式的应用、正弦函数的基本性质--最值、对称性．三角函数的内容比较琐碎，要记忆的比较多，平时要注意公式的记忆和基础知识的积累．