Question

设a为正实数，函数f（x）=x³－ax²－a²x+1, x∈R．
（1）求f（x）的极值；
（2）设曲线y=f（x）与直线y=0至多有两个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）_（极大）=f
f（x）_（极小）=f（a）=a³－a³－a³+1=1－a³
（2）见解析（3）0<a≤1

（1）f′（x）=3x²－2ax－a²……………………………………………………2分
由f′（x）=3x²－2ax－a²=0，得x₁=－，x₂="a," （a>0）

x	（－，－）	－	（－,a）	a	（a,+ ∞）
f′（x）	+	0	－	0	+
f（x）	增	极大	减	极小	增

……………………………………………………………………………………5分
∴f（x）_（极大）=f
f（x）_（极小）=f（a）=a³－a³－a³+1=1－a³……………………………………………7分
（2）∵f（x）在（－∞，－）上递增，在（－,a）上递减，在（a,+ ∞）上递增，
f（x）_（极大）= a³+1>0………………………………………………………………9分
①当极小值f（a）=1－a³≥0，即0<a≤1时，y=f（x）与y=0在x∈（－，+∞）上有1个或0个公共点，此时f（－1）=a（a－1） ≤0
∴y=f（x）与y="0 " 在x∈（－∞，－）上有1个公共点
∴0<a≤1时，y=f（x）与y=0有1个或2个公共点……………………………11分
②当极小值f（a）=1－a³<0即a>1时，y=f（x）与y=0在x∈（－，+∞）上有2个公共点，此时f（－a）=1－a³<0
∴y=f（x）与y="0" 在x∈（－∞，－）上有1个公共点
∴a>1时，y=f（x）与y=0有3个公共点………………………………………13分
综上，0<a≤1……………………………………………………………………14分