Question

一束光线l自A（-3，3）发出，射到x轴上，被x轴反射到⊙C：x²+y²-4x-4y+7=0上．
（1）求反射线通过圆心C时，光线l的方程；
（2）求在x轴上，反射点M的范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，利用物理的光学知识可知入射光线上的任意一点关于x轴对称的点必在其反射线上，由于反射线过圆心，有光线的可逆性知，反射线上的任意点圆心关于x轴对称的点也必在入射光线上，然后由入射光线上已知两点写出所求的直线方程；
（2）由题意和（1）可知反射线必过定点A′（次点是点A关于x轴对称的点），利用几何知识知当反射线与已知圆相切时恰好为范围的临界状态．

解答：解：⊙C：（x-2）²+（y-2）²=1
（1）C关于x轴的对称点C′（2，-2），过A，C′的方程：x+y=0为光线l的方程．
（2）A关于x轴的对称点A′（-3，-3），设过A′的直线为y+3=k（x+3），当该直线与⊙C相切时，
有

|2k-2+3k-3|

1+k2

=1?k=

4

3

或k=

3

4

∴过A′，⊙C的两条切线为y+3=

4

3

(x+3)，y+3=

3

4

(x+3)令y=0，得x1=-

3

4

，x2=1
∴反射点M在x轴上的活动范围是[-

3

4

，1]

点评：（1）次问重点考查了物理学中光的知识，还考查了已知直线上的两点求解直线的方程；
（2）次问重点考查了点关于线对称点的求法，还考查了解决问题是抓住临界状态这一特殊位置求解的思想．