Question

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AD=2，AA₁=3，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°．若

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

（1）用基底{

a

 ， 

b

 ，

c

}表示向量

BM

；
（2）求向量

AC1

的长度．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得

BM

=

BB1

+

B1M

=

BB1

+

1

2

（

A1D1

-

A1B1

），把已知的条件代入化简可得结果．
（2）利用两个向量的数量积的定义求出基底中每个向量的模以及每两个向量的数量积，由 |

AC

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+  c 2+2 a • b +2 b • c +2 a • c

运算求得结果．

解答：解：（1）由题意可得

BM

=

BB1

+

B1M

=

BB1

+

1

2

B1D1

=

BB1

+

1

2

（

A1D1

-

A1B1

）=

c

+

1

2

(

b

-

a

)，
故

BM

=-

1

2

a

+

1

2

b

+

c

．-------（6分）
（2）由条件得 |

a

|=1，|

b

|=2，|

c

|=3． 

a

•

b

=0，

a

•

c

=

3

2

，

b

•

c

=3．-------（9分）

AC1

=

a

+

b

+

c

．------（11分）
故 |

AC

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+  c 2+2 a • b +2 b • c +2 a • c

=

23

．------（15分）

点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法，属于基础题．