Question

已知定义在R上的函数f（x） 满足条件：（1）f（x）+f（-x）=2；（2）对非零实数x，都有2f（x）+f（

1

x

）=2x+

1

x

+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=

f(x)2-2x

（x≥0）直线 y=

2

n-x分别与函数f（x） 的反函数 交于A，B两点
（其中n∈N*），设 a_n=|A_nB_n|，s_n为数列a_n 的前n项和．求证：当n≥2 时，总有 S_n²＞2（

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

）成立．

Answer 1

分析：（1）令解析式中的x用

1

x

代入，得到一个方程组，消去f（

1

x

）可求出函数的解析式；
（2）先求出A_n的坐标，依题意得B_n与A_n关于y=x对称求出B_n的坐标，求出a_n，从而求出S_n，将s_n²-s_n-1²进行累加可求证得结论．

解答：解：（1）由②知x≠0时

2f(x)+f( 1 x )=2x+ 1 x +3 2f(x)+f(x)= 2 x +x+3

⇒

f(x)=x+1(x≠0) f(0)=1

⇒f（x）=x+1（4分）
（2）g（x）=

x2+1

由

y= x2+1 y= 2 n-x

⇒A_n（

2n2-1

2 2 n

，

2n2+1

2 2 n

）
依题意得B_n与A_n关于y=x对称⇒B_n（

2n2+1

2 2 n

，

2n2+1

2 2 n

）=an=

1

n

（6分）
⇒s_n=1+

1

2

+

1

3

++

1

n

⇒s_n-s_n-1=

1

n

=sn-12=s_n²-

2sn

n

+

1

n2

（8分）
⇒s_n²-s_n-1²=

2sn

n

-

1

n2

（n≥2）累加得s_n²-s₁²=2（

s2

2

+

s3

3

++

sn

n

）-（

1

22

+

1

32

++

1

n2

）
⇒s_n²=2（

s2

2

+

s3

3

++

sn

n

）+1-（

1

22

+

1

32

++

1

n2

）（10分）
又1-（

1

22

+

1

32

++

1

n2

）＞1-（

1

1×2

+

1

2×3

++

1

(n-1)n

）=

1

n

＞0
∴s_n²＞2(

s2

2

+

s3

3

+..+

sn

n

)（12分）

点评：本题主要考查了函数解析式的求解，以及数列的通项公式和求和，同时考查了利用累加法证明不等式，属于难题．