Question

如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB，E为垂足，F为AD的中点，若∠AEF=54°，则∠B=

1. A.
   54°
2. B.
   60°
3. C.
   66°
4. D.
   72°

Answer 1

D
分析：延长EF与CD的延长线交于点G，连接CF，如图所示，显然三角形AEF与三角形GDF全等，由全等三角形的对应边相等得到GF=EF，对应角相等得到∠G=∠AEF=54°，又CE垂直于AB，且DC与AB平行，得到CE垂直于CD，在直角三角形GCE中，F为斜边GE的中点，可得出CF=GF=EF，利用等边对等角得到∠FCG=∠G=54°，再由BC=2AB，得到AD=2DC，F为AD中点，可得出CD=FD，等边对等角得到∠FCG=∠CFD=54°，利用三角形的内角和定理求出∠CDA的度数，即为∠B的度数．
解答：解：延长EF与CD的延长线交于点G，连接CF，如图所示，
∵平行四边形ABCD，
∴CD∥AB，DC=AB，BC=AD，
∴∠AEF=∠G，
∵F为AD的中点，∴AF=DF，
又∠AFE=∠DFG，
∴△AEF≌△GDF（AAS），
∴FG=FE，∠G=∠AEF=54°，
∵CE⊥AB，CD∥AB，
∴EC⊥DC，即∠GCE=90°，
在Rt△CGE中，可得CF=GF=EF=GE，
∴∠FCG=∠G=54°，
又BC=AD=2AB=2DC，F为AD中点，
∴CD=FD，
∴∠DCF=∠CFD=54°，
∴∠B=∠CDA=180°-54°-54°=72°．
故选D
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，较为简单，熟练掌握性质是解本题的关键．