Question

观察下列等式：C₂¹=C₁¹+C₁⁰C₃¹=C₂¹+C₂⁰C₃²=C₂²+C₂¹C₄¹=C₃¹+C₃⁰C₄²=C₃²+C₃¹C₄³=C₃³+C₃²…，由以上等式推测到一个一般性的结论：对任意的n，r∈N⁺（n＞r），C_n^r=

C_n-1^r+C_n-1^r-1

．

Answer 1

分析：仔细观察题设条件，我们能够发现：每一个组合数都能拆分成两个组合数之和，且这两拆分后的组合数的下标比拆分前组合数的下标小1，拆分后的两个组合数的上标之和恰好等于拆分前组合数的上标，从中总结规律后，能够得到C_n^r的表达式．

解答：解：∵C₂¹=C₁¹+C₁⁰，
C₃¹=C₂¹+C₂⁰，
C₃²=C₂²+C₂¹，
C₄¹=C₃¹+C₃⁰，
C₄²=C₃²+C₃¹，
C₄³=C₃³+C₃²，
…
∴C_n^r=C_n-1^r+C_n-1^r-1．
故答案为：C_n-1^r+C_n-1^r-1．

点评：本题考查归纳推理的灵活运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意观察，善于总结．