Question

14．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在同一个周期内，当x=$\frac{π}{4}$时y取最大值1，当x=$\frac{7π}{12}$时，y取最小值-1．
（Ⅰ）求函数的解析式y=f（x）
（Ⅱ）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f（x）的图象？
（Ⅲ）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过当x=$\frac{π}{4}$时y取最大值1，当x=$\frac{7π}{12}$时，y取最小值-1．求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．
（Ⅲ）根据正弦函数的单调区间，即可得到函数的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）∵当x=$\frac{π}{4}$时y取最大值1，当x=$\frac{7π}{12}$时，y取最小值-1．
∴T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，
∴ω=3．----（4分）
∵sin（$\frac{3}{4}$π+φ）=1，
∴$\frac{3}{4}$π+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
即φ=2kπ-$\frac{π}{4}$，
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴可得 φ=-$\frac{π}{4}$，------（6分）
∴函数 f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）．-------（7分）
（Ⅱ）y=sinx的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位得y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的图象
再由y=sin（x-$\frac{π}{4}$）图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{1}{3}$．纵坐标不变，
得到y=sin（3x-$\frac{π}{4}$）的图象，-----------（9分）
（Ⅲ）令2k$π+\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{3π}{2}$，（k∈Z），
求得函数f（x）的单调递减区间为：[$\frac{2kπ}{3}+\frac{π}{4}$，$\frac{2kπ}{3}+\frac{7π}{12}$]．-----------（13分）

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题．