Question

已知直线（t为参数），与椭圆x²+4y²=16交于A、B两点．
（1）若A，B的中点为P（2，1），求|AB|；
（2）若P（2，1）是弦AB的一个三等分点，求直线l的直角坐标方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB的中点坐标为P（2，1），求出斜率，即可求得直线AB的方程．
（2）根据P（2，1）是弦AB的一个三等分点，得到|AP|=|PB|，从而得出|t₁|=2|t₂|，⇒t₁=-2t₂，再利用（1）中得到的方程结合韦达定理解得a的值，从而得出直线l的直角坐标方程．
解答：解：（1）直线代入椭圆方程，
整理得（4a²+1）t²-4（2a-1）t-8=0
设A、B对应的参数分别为t₁、t₂，则t₁+t₂=，t₁t₂=，
∵A，B的中点为P（2，1），∴t₁+t₂=0
解之得a=，∴t₁t₂=-4，∵|AP|==|t₁|，|BP|=|t₂|，
∴|AB|=（|t₁|+|t₁|）=×=2，
（2）P（2，1）是弦AB的一个三等分点，∴|AP|=|PB|，
∴|t₁|=2|t₂|，⇒t₁=-2t₂，
∴t₁+t₂=-t₂=，t₁t₂=-2t=，
∴t=，∴=，解得a=，
∴直线l的直角坐标方程y-1=（x-2）．
点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求解．