Question

【题目】四棱锥A－BCDE中，侧棱AD⊥底面BCDE，底面BCDE是直角梯形，DE∥BC，BC⊥CD，BC＝2AD＝2DC＝2DE＝4，H，I分别是AD，AE的中点．

(Ⅰ)在AB上求作一点F，BC上求作一点G，使得平面FGI∥平面ACD；

(Ⅱ)求平面CHI将四棱锥A－BCDE分成的两部分的体积比．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) .

【解析】试题分析：(Ⅰ)通过证明 IG∥HC和FG∥AC.从而平面FGI∥平面ACD.

(Ⅱ)先求得四棱锥A－BCHI的体积V1＝××＝，和四棱锥A－BCDE的体积V＝××(2＋4)×2×2＝4，通过作差得到多面体HI－ABCD的体积V2＝V－V1＝，可得两部分体积比为.

试题解析：(Ⅰ)如右图所示，分别作AB的四等分点F(离A较近)，BC的四等分点G(离C较近)，则其使得平面FGI∥平面ACD.

证明如下：

因为H，I分别是AD，AE的中点，

所以HI∥DE，

且HI＝DE.

又DE∥BC，BC＝2DE，

所以HI∥BC且HI＝BC.

所以HI∥GC且HI＝GC.

所以四边形HIGC是平行四边形．

所以IG∥HC.

由题意, ，所以FG∥AC.

又IG∩FG＝G，HC∩AC＝C，所以平面FGI∥平面ACD.

(Ⅱ)连接BI，∵H，I分别为AD，AE中点，∴HI∥DE，HI＝DE＝1，

又DE∥BC，∴HI∥BC，

∴平面CHI将四棱锥分成四棱锥A－BCHI与多面体HI－ABCD两部分，

过D作DM⊥CH，垂足为M，则A到平面BCHI的距离等于DM，

∵AD⊥平面BCDE，∴AD⊥CD，

在Rt△CDH中，CD＝2，DH＝1，

CH＝，DM＝，

∵BC⊥CD，AD⊥BC，AD∩CD＝D，

∴BC⊥平面ACD，

∵CH平面ACD，∴BC⊥CH，

四边形BCHI的面积为 (1＋4)×＝，

四棱锥A－BCHI的体积V1＝××＝，

四棱锥A－BCDE的体积V＝××(2＋4)×2×2＝4，

多面体HI－ABCD的体积V2＝V－V1＝，

∴平面CHI将四棱锥A－BCDE分成的两部分体积比为.